3.2 Il principio di entropia: una solida e sottile legge statistica

 

COMPORTAMENTO TIPICO DI UN SISTEMA E FLUTTUAZIONI ATTORNO ALL'EQUILIBRIO

Boltzmann utilizzó elementi di statistica per provare che la seconda legge della termodinamica, derivata dalla costruzione dell'equazione onomina sotto ipotesi di caos molecolare e dal teorema H, non esprime l'impossibilitá affermata da Klevin e Clausius, ma una altissima improbabilitá. Per argomentare xxx vedere articolo suo xxx.

La distribuzione di equilibrio di un gas perfetto trovata non dipende dalle interazioni molecolari e si può calcolare considerando l'equiprobabilità a priori dei microstati del sistema a energia fissata. Per far questo sviluppiamo l'utile idea di ensemble statistico microcanonico (secondo il piano di lavoro di Gibbs), per cui possiamo immaginarci una collezione di microstati diversi nello spazio delle fasi compatibili con lo stesso macrostato.

La dinamica del sistema classico conservativo è governata dalle equazioni di Hamilton, invarianti per inversione temporale del tempo, e si definisce la densità dei microstati la quale è soggetta all'equazione di continuità di Liouville (comportandosi come un fluido incomprimibile).

Metodo della distribuzione più probabile. Prendiamo un sistema isolato di particelle N e energia E e calcoliamo il volume (o molteplicità di un macrostato) nello spazio delle fasi occupato dal sistema e associato ad una funzione di distribuzione f arbitraria. Per molte particelle uso la formula di Stirling e con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange massimizzo il volume W in virtù della validità del principio di entropia, in quanto posso definire quest'ultima nel modo seguente

S = k ln W

e il massimo di W equivarrà sempre al massimo di S (ricordando che il logaritmo è una funzione crescente e k è la costante di Boltzmann).

Dalla teoria delle fluttuazioni delle grandezze macroscopiche termodinamiche si scopre che le prime vanno a zero al crescere di N (come il reciproco della radice quadrata di N, precisamente) e si può allora definire una distribuzione tipica del sistema, tale che se il sistema si trova inizialmente in questa, anche in presenza di deboli interazioni molecolari, dopo un certo tempo (che dipende dalla sezione d'urto differenziale) si troverà ad essere quasi certamente una distribuzione di equilibrio.

La domanda che sorge è questa: dopo quanto tempo si raggiunge l'equilibrio? Ci sono possibilità che non venga mai raggiunto? E una volta raggiunto, quanto è stabile nel tempo una tale situazione di equilbrio? Il principio di entropia  viene riformulato in questo ambito come una legge statistica, per cui le impossibilità enunciate nelle definizioni termodinamiche divengono improbabilità.

Per approfondire questo paragrafo si veda in merito il libro "Meccanica Statistica" di Huang.

 


Per approfondire vedere #qui e #qui.