3.3 Un'introduzione al caos in meccanica statistica del non-equilibrio

Le ipotesi di caos molecolare permettono una derivazione euristica della freccia del tempo nel piano di Boltzmann visto precedentemente, in quanto esse rimangono ingiustificate nell'ambito della teoria cinetica e non costituiscono una derivazione rigorosa della freccia del tempo.

Ma come giustificare queste assunzioni? Tale domanda ci introduce nel vasto panorama della meccanica statistica del non-equilibrio e nello studio delle proprietà meccaniche dei sistemi dinamici.

 


 

Ipotesi ergodica. Se partendo da un qualunque punto nello spazio delle fasi la traiettoria di un sistema dinamico hamiltoniano esplora molte regioni in scale temporali del laboratorio (in modo che il tempo speso in una regione sia proporzionale ad una certa misura di probabilità) allora il sistema in questione si dice ergodico. In questi casi vale inoltre il teorema di Birkhoff, per cui la media temporale di una grandezza dinamica è costante sulla superficie equienergetica, indipendentemente dalla scelta iniziale del punto sulla traiettoria.

Nell'ensemble microcanonico questa sembrerebbe l'ipotesi ideale per giustificare la massimizzazione del volume per il calcolo dell'entropia del sistema all'equilibrio, e quindi il principio di entropia.

Ma ci sono alcuni problemi nel confrontare le grandezze calcolate con i dati sperimentali relativi ad esse:

  • Le medie temporali sono definite per tempi molto lunghi che non sono i tempi tipici del laboratorio;
  • Non esistono sistemi isolati in laboratorio e l'interazione con l'ambiente potrebbe farli sembrare ergodici, mentre in realtà senza interazione essi non lo sarebbero (non tratteremo questo aspetto);
  • L'ipotesi ergodica spiega bene l'equilibrio ma non è sufficiente a garantire l'approccio all'equilibrio, in quanto non ci dice se per qualunque configurazione iniziale di non-equilibrio la media di ensemble di una grandezza dinamica raggiungerà la media microcanonica.

 

Di seguito viene mostrato il piano di lavoro moderno per risolvere il primo e il terzo problema dell'ipotesi ergodica.

 


 

SISTEMI MIXING

Proviamo a descrivere il comportamento medio di un insieme di punti, e non di uno solo, sulla stessa superficie a energia costante (approccio di Gibbs). Ebbene se tale insieme a causa della dinamica viene stirato, allungato e sfilacciato in modo che su una scala grossolana sia distribuito uniformemente sull'intera superficie, il sistema in questione viene definito mixing (in modo più formale si enuncia questo concetto con un'uguaglianza tra i rapporti di misure non nulle nel limite di tempo infinito; si dimostra inoltre che se un sistema è mixing allora è ergodico, mentre non vale il viceversa).

Grazie a questa proprietà meccanica un sistema isolato raggiunge l'equilibrio in senso debole, per cui la media di ogni variabile dinamica tende per tempi lunghi al valore microcanonico corrispondente alla condizione di equilbrio. La distribuzione di densità verrà allungata, stirata e sfilettata (potendo inoltre ritornare alla forma iniziale nel caso di inversione temporale della dinamica) nel corso del tempo e le medie calcolate con essa per tempi lunghi coincideranno con le medie calcolate con una distribuzione di densità dolce (concetto alla base delle misure SRB che vedremo in seguito) di equilibrio.

 


 

CAOS DETERMINISTICO E DIPENDENZA SENSIBILE DALLE CONDIZIONI INIZIALI

L'evoluzione di un sistema dinamico si può conoscere a partire da due informazioni fondamentali: la dinamica del moto e le condizioni iniziali da cui parte il sistema. 

Da quanto abbiamo detto precedentemente un sistema mixing presenta un comportamento caotico dovuto alle sue particolari proprietà dinamiche, in quanto nascosto nello sparpagliarsi del sistema è il concetto di dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali: le singole traiettorie nello spazio delle fasi devono essere delle funzioni altamente sensibili alla scelta delle coordinate e dei momenti coniugati delle particelle che compongono il sistema (questo ci permette di distinguere anche tra le poche costanti del moto - come energia e momento angolare - controllabili in laboratorio e le numerose costanti criptiche ignote). Inoltre scegliere una nuvola di traiettorie con le stesse condizioni iniziali definite entro una precisione finita tiene conto dei limiti operativi delle misurazioni in laboratorio.

Per definire tale situazione di caos deterministico si cerca di computare gli esponenti di Lyapunov del sistema, che descrivono il tasso di separazione tra due traiettorie di un sistema dinamico discreto. Se tali esponenti sono strettamente positivi allora il sistema presenta divergenza esponenziale delle traiettorie lungo le direzioni instabili.

 


 

SCALE TEMPORALI E OSSERVABILI SECONDO BOGOLIUBOV

Quanto tempo impiega il sistema mixing a raggiungere l'equilibrio? Ebbene se consideriamo il sottospazio definito dalle direzioni instabili del sistema, lungo le quali il comportamento è caotico, abbiamo in genere tempi più brevi rispetto a quelli ergodici (che sono dell'ordine del periodo di ricorrenza di Poincaré). Una qualunque funzione di distribuzione ridotta lungo queste direzioni tende a divenire più regolare e noi studieremo proprio queste secondo il criterio per cui osservabili che variano lentamente nel tempo sono più rilevanti dal punto di vista fisico del laboratorio rispetto ad altre che variano velocemente nel tempo.

Soffermiamoci sul caso del gas diluito: la funzione di distribuzione a N particelle determina l'evoluzione di un ensemble di sistemi in non-equilibrio, mentre la funzione di distribuzione di singola particella è l'unica che soddisfa l'equazione di Boltzmann. Tale funzione rimane costante su scale temporali della durata di una collisione binaria e varia solo su scale temporali della durata del cammino libero medio, per cui essa è l'osservabile rilevante da studiare.

Identificare le scale temporali rilevanti è un fattore cruciale per la derivazione rigorosa della freccia del tempo, in particolare nella scelta delle grandezze dinamiche e dei sottospazi fisicamente rilevanti.

 


 

ENTROPIA K-S, SISTEMI IPERBOLICI e PROCESSI STOCASTICI

L'analisi della stabilità dei sistemi dinamici e della transizione alla stocasticità è un terreno di studio vastissimo: partendo dai sistemi integrabili a quelli quasi-integrabili, dal calcolo dei punti fissi iperbolici al problema della rimozione delle risonanze, dall'overlapping delle risonanze alla stocastic web, si giunge infine ai sistemi iperbolici (vedremo solo questi ultimi).

Formalizziamo quanto detto finora definendo le proprietà meccaniche microscopiche di un sistema mixing macroscopico e con l'aiuto della teoria dell'informazione.

Dividiamo in partizioni la regione equienergetica dove si trova il sistema nello spazio delle fasi (a seconda delle pre-immagini definite dalla dinamica inversa) e facciamo l'intersezione di queste per più evoluzioni del sistema:  possiamo in tal modo seguire la traiettoria di un punto con precisione sempre maggiore all'assottigliarsi delle partizioni. Abbiamo un'indicazione del tasso di produzione di informazione h calcolando l'entropia di Kolmogorov e Sinai (che NON coincide con l'entropia definita finora) del sistema nel limite di tempo infinito e data dall'estremo superiore di h su tutte le possibili partizioni in cui è divisa la regione.

Un sistema dinamico si dice iperbolico se esiste una misura invariante e almeno una traiettoria che descrive l'evoluzione del sistema è densa nel dominio; se ad ogni punto è possibile costruire varietà stabili e instabili che cambiano con continuità nel dominio e si intersecano trasversalmente con angoli non nulli; infine se tutti gli esponenti di Lyapunov sono non nulli.

Possiamo descrivere l'evoluzione di un sistema iperbolico con un processo Markov di natura completamente stocastica e cercare una master equation dalla quale calcolare il tasso di probabilità di transizione del sistema, oppure interpretare il sistema iperbolico come un sistema di Bernoulli la cui evoluzione è regolata da una sequenza casuale di lanci di monete con equiprobabilità per testa o croce.  

 


 

Un esempio molto utile per tutta questa trattazione è la TRASFORMAZIONE DEL FORNAIO: una mappa discreta quasi ovunque reversibile rispetto all'inversione temporale che si dimostra essere mixing ed ergodica e dalla quale si può ricavare un modello di equazione di Boltzmann e di teorema H per la distribuzione di densità ridotta lungo la direzione instabile del sistema. Inoltre la baker's map è un sistema iperbolico con tasso di produzione di informazione = entropia K-S = esponente positivo di Lyapunov = ln2.

 


 

ABBIAMO TROVATO I FONDAMENTI DINAMICI DELLA FRECCIA DEL TEMPO?

Siamo riusciti a collegare i sistemi mixing-ergodici con sistemi dinamici iperbolici a pochi gradi di libertà e abbiamo mostrato come essi abbiano il comportamento caotico ideale per giustificare su basi microscopiche il principio di entropia (massimo volume nello spazio delle fasi).

Possiamo affermare che le ipotesi di mixing e le proprietà di iperbolicità sono necessarie e sufficienti per derivare le ipotesi di caos molecolare di un gas diluito? In generale NO, per i due motivi seguenti:

  • Il ruolo cruciale dei gradi di libertà. Ipotizziamo valide le proprietà di mixing e iperbolicità. Allora se prendiamo un ensemble di sistemi a pochi gradi di libertà (come ad esempio 5 sfere rigide poste in un volume molto piccolo) a causa delle numerose collisioni siamo forzati a usare l'approccio statistico. Non possiamo aspettarci però un comportamento tipico del sistema e nemmeno la derivazione della freccia del tempo. Se prendiamo invece un singolo sistema con molti gradi di libertà (come 1023 particelle poste inizialmente in un angolo di un contenitore) viene naturale usare l'approccio statistico e il sistema raggiungerà l'equilibrio (distribuzione spaziale uniforme delle sfere nel contenitore) in senso debole per tempi del laboratorio e avrà un comportamento tipico con grandi fluttuazioni per tempi di ricorrenza lunghissimi.
  • Sottigliezze sull'ipotesi di mixing. Ci sono sistemi dinamici pseudocaotici che non sono mixing ma che risultano essere buoni modelli microscopici per il calcolo dei coefficienti di trasporto in teoria cinetica dei gas, come ad esempio il modello albero a vento di Ehrenfest (con centri diffusori disposti casualmente, e forse è proprio a causa di questa disposizione che si hanno buoni risultati). Questo sistema non è iperbolico, ha esponenti di Lyapunov nulli e le traiettorie divergono nel tempo secondo una potenza algebrica e non esponenzialmente.

Come si vede il lavoro per conoscere profondamente l'emergenza della freccia del tempo è ancora lungo.

 

Per approfondire si veda il lavoro omonimo svolto per l'esame di applicazioni della meccanica statistica (con il professor Borgonovi e bibliografia principale data da un libro del Dorfman).

  • p V / T = p0 V0 / T0

    pV = n R T            

    p V = N kB T          

    (N = n Na    n = m / Mmol     kB = R / Na)