Per trovare come si distribuisce nel tempo la temperatura lungo un corpo lineare dobbiamo trovare la funzione T(x,t) a due variabili spazio e tempo che sia soluzione dell'equazione differenziale alle derivate parziali

T_t - α T_xx = 0

al prim'ordine in  t  e al secondo ordine in  x  e con  α  coefficiente di diffusività termica. Tale equazione deriva dal bilancio termico, con calore specifico e densità do massa costanti, e dalla legge di Fourier.

Essendo una equazione parabolica - infatti la matrice della parte principale, quella con le derivate seconde, ha denominatore nullo - è già scritta in forma canonica e possiamo porre il problema di Cauchy di esistenza e unicità della soluzione, scegliendo le seguenti condizioni iniziali:

T|_γ = φ|_γ         e           T_n|_γ = ψ|_γ

con  γ  curva regolare di normale  n  e funzioni assegnate  φ  e  ψ  . Un metodo per costruire la soluzione è calcolare tutte le derivate di T su  γ  e dimostrare che lo sviluppo di Taylor di  T  converge in un intorno della curva. Infine ricordiamoci che il problema risulta ben posto secondo Hadamard se esiste una sola soluzione ed essa dipende in modo continuo dai dati.

Saltando in blocco i principi di massimo e la formulazione del problemi di Dirichlet e di Neumann per equazioni differenziali paraboliche, esponiamo il calcolo di soluzioni particolari dell'equazione del calore secondo il metodo di Fourier. E' un ottimo esempio di risoluzione di equazione differenziale a variabili separabili. Infatti cercando soluzioni della forma (con  α=1  )

T(x,t) = τ(t) ξ(x)

otteniamo l'equazione (e dunque separando le variabili)

τ' ξ - τ ξ'' = 0          quindi        τ' / τ = ξ'' / ξ = -k²

avendo posto  τ  limitata nel futuro perché tale equazione descrive fenomeni irreversibili e il principio di entropia indica la direzione della freccia del tempo. Per risolvere queste equazioni differenziali ordinarie osserviamo che la prima integrazione è immediata, mentre la seconda del secondo ordine è omogenea con soluzioni del polinomio caratteristico complesse e coniugate, dunque abbiamo soluzioni del tipo

T(x,t) = e^{-k^2 t} [sin(kx) + b cos(kx)]

Ipotizzando un corpo lineare di lunghezza unitaria abbiamo autofunzioni sin(λ_nx) con autovalori uguali a π, 2π, ... e soluzione formale

T(x,t) = Σ_i e^{-λ_n^2 t} a_n sin(λ_nx)

con  a_n  coefficienti dello sviluppo di Fourier

T₀(x) =Σ_i a_n sin(λ_nx)

Ebbene, si dimostra che la  T(x,t)  trovata è effettivamente la soluzione per ogni T₀ continua e nulla agli estremi. Per una applicazione vedi l'esercizio 31.

(Bibliografia: "Equazioni differenziali della fisica matematica" di A.Fasano, unifi.it)