INDICE DI MATEMATICA QUINTO ANNO LICEO SCIENTIFICO

  • Introduzione all'analisi matematica - I numeri naturali - All'infinito;
  • Successioni - Entriamo nel continuo;
  • La continuità;
  • Derivabilità;
  • Operatore primitiva - Differenziale;
  • Dal locale al globale;
  • Il polinomio di Taylor;
  • Area;
  • Equazioni differenziali.

Tratto da "Matematica Controluce 3" di Andreini, Manara e Prestipino e da appunti universitari (ultima parte).

 


 

  • Introduzione all'analisi matematica - I numeri naturali - All'infinito:
    • Nel secolo XVII nascono le basi del calcolo differenziale e infinitesimale (Cartesio, Cardano, Galileo, Newton, Leibniz);
    • Si cerca di risolvere problemi di ottimo, della retta tangente a una curva e della misura di oggetti curvilinei (Keplero, Snell, Fermat che generalizza Erone, Huygens, già Archimede, Cavalieri, Torricelli) e nasce il concetto di funzione (Gregory...);
    • Si sviluppa poi l'assiomatizzazione dei numeri naturali (Kronecker, Peano) e si utilizza la dimostrazione per induzione;
    • Abbiamo inoltre il calcolo combinatorio (Pascal, Fermat) con le formule per disposizioni semplici, permutazioni semplici, fattoriale, combinazioni semplici, coefficienti binomiali, binomio di Newton;
    • Infine si studia la numerabilità e la cardinalità di un insieme (Dedekind, Cantor, Frege) e l'ipotesi del continuo (citata da Hilbert, dimostrata non decidibile da Cohen).
  • Successioni - Entriamo nel continuo:
    • Si chiama successione numerica un insieme di numeri reali codominio di una funzione di una funzione  f  reale definita sull'insieme dei numeri naturali   f: N ---> R  (ci sono successioni monotone crescenti e decrescenti, limitate, convergenti, divergenti e valgono i teoremi del confronto, dell'unicità del limite, delle operazioni di calcolo dei limiti, il teorema del rapporto, le forme indeterminate);
    • Si scopre prima di tutto che i numeri reali non possono essere  messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, poi si definiscono intervalli aperti, chiusi, intorni di un numero reale, estremi superiori e inferiori di insiemi, punti di accumulazione e punti isolati;
    • Si giunge dunque a definire il limite di una funzione, si analizzano i primi grafici, gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui, limiti destri e sinistri e infine la definizione locale e globale di continuità di una funzione;
    • I teoremi sui limiti ci accompagnano: unicità del limite, permanenza del segno, teorema del confronto, operazioni coi limiti (somma, prodotto, reciproca, quoziente), forme indeterminate, le formule dei limiti notevoli e altre tecniche di soluzione di forme indeterminate;
    • Il calcolo dei limiti può venire affrontato per risolvere problemi geometrici.
  • La continuità:
    • Vengono definite le funzioni continue (e le operazioni tra funzioni) e classificati i punti di discontinuità (prima specie o salto, seconda specie, terza specie o eliminabile);
    • Valgono i teoremi di Weierstrass, di Bolzano-Darboux, il teorema degli zeri;
    • Vengono indagati i limiti notevoli per funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche e si ampliano le tecniche di soluzione di forme indeterminate.
  • Derivabilità:
    • Dal concetto di rapporto incrementale  e grazie all'idea del coefficiente angolare della retta tangente a un grafico in un punto, si definisce la derivata (in fisica la velocità è la derivata della legge oraria rispetto al tempo), i punti stazionari, i casi di non derivabilità (punti angolosi, punti di cuspide, punti a tangente verticale);
    • La funzione derivata prima viene indagata per vari tipi di funzione (razionale, esponenziale, logaritmica, trigonometrica) e l'operatore derivata poi analizzando le regole di derivazione (somma, formule del prodotto e del quoziente, di funzioni composte e funzione inversa), addentrandoci anche nelle derivate successive;
    • Si passa dunque alle relazioni tra continuità e derivabilità, alla monotonia collegata al segno della derivata prima (calcolo di estremanti, funzioni crescenti e decrescenti), alla concavità collegata al segno della derivata seconda (calcolo dei flessi);
    • Si affrontano problemi geometrici di ottimo con l'uso delle derivate (principio di Fermat, riflessione e rifrazione con il problema del bagnino), calcolando tra le varie incognite più richieste aree e volumi massimi o minimi;
  • Operatore primitiva - Differenziale:
    • L'operazione inversa della derivata viene tratteggiata, con le sue proprietà;
    • Si pone il problema dell'integrabilità di una funzione e si trovano i primi integrali immediati di funzioni note (razionali intere, logaritmiche, esponenziali, trigonometriche, razionali fratte nei tre casi di denominatore riducibile, quadrato perfetto, irriducibile);
    • Si definisce quando una funzione è integrabili e si introduce l'integrazione per parti e per sostituzione;
    • Alcuni cenni vengono fatti anche sul concetto di differenziale.
  • Dal locale al globale - sviluppo di Taylor:
    •  Il teorema di Rolle e il teorema di Lagrange dominano nella teoria relativa alle funzioni derivabili, mentre finalmente si pongono le basi per lo STUDIO globale DI UNA FUNZIONE, CON L'OBIETTIVO CENTRALE DEL DISEGNO GRAFICO DI UNA QUALSIASI FUNZIONE, calcolando il dominio, i limiti agli estremi, gli asintoti, gli zeri, i punti di massimo e di minimo e la monotonia, i punti di flesso e la concavità;
    • Si procede dunque ad analizzare la casistica dello studio di funzioni note, per aver dimestichezza e controllo sui grafici di possibili varianti di tali funzioni: le razionali intere con dominio tutto R introducono limiti ai due estremi e vari possibili massimi, minimi e flessi; le razionali fratte hanno inoltre buchi nel dominio con asintoti verticali; le irrazionali hanno dominio più limitato, le goniometriche possono presentare massimi e flessi periodici; funzioni con anche esponenziali e logaritmiche vanno trattate con cura per valutare quali casi di volta in volta si presentano;
    • Un potente strumento per il calcolo dei limiti di forme indeterminate è inoltre il teorema di De L'Hopital;
    • Infine possiamo approssimare una qualunque funzione con l'uso del suo sviluppo fino a un certo ordine, e grazie al calcolo delle derivate; abbiamo gli sviluppi di Taylor e di Mac Laurin.
  • Area:
    • Il tempo è maturo per il calcolo di misure di aree di oggetti curvilinei: dai trapezoidi e dall'area sottesa a un grafico (anche negativa), fino al metodo dei plurirettangoli per definire aree inferiori e superiori e dunque passando per il lavoro eccelso di Fermat sulle quadrature di coniche si giunge all'integrale come strumento per il calcolo di superficie curvilinee;
    • Ci diamo spazio per definire le relazioni tra integrabilità e continuità, e dunque anche parlando di funzioni non integrabili, di proprietà dell'integrale e della media integrale;
    • Il teorema fondamentale del calcolo integrale segue al teorema di Torricelli, e si definisce pure l'operatore integrale, generalizzando infine al calcolo di aree finite di figure illimitate, generalizzando l'integrale e ponendo il problema della sua convergenza;
    • L'ultima conquista risulta essere il calcolo dei volumi di solidi di rotazione e della lunghezza di curve grazie all'uso degli integrali, da cui possiamo calcolare il volume del cono, della sfera, dell'elissoide, della tromba illimitata, della scodella parabolica e la lunghezza della catenaria e di altri oggetti curvilinei.
  • Equazioni differenziali.