INDICE DI MATEMATICA SECONDO BIENNIO LICEO SCIENTIFICO

  • Un ponte fra algebra e geometria - Nel piano cartesiano;
  • La funzione di primo grado: la retta - Lavorando con le rette - I problemi nella geometria analitica;
  • La circonferenza - I problemi: libertà di stile - Trasformare nel piano;
  • La funzione di secondo grado: la parabola - Le altre coniche (ellisse e iperbole) - Esploriamo i luoghi;
  • Le funzioni algebriche;
  • Le disequazioni - I problemi: una visione dinamica;
  • I problemi si inseguono - Uno sguardo sui numeri reali - Approssimazioni nella storia;
  • Dalla potenza all'esponenziale - Un grande numero;
  • Le funzioni goniometriche;
  • Relazioni fondamentali;
  • La trigonometria e le figure;
  • Equazioni e disequazioni goniometriche - Altre trasformazioni - Metodi a confronto;
  • Grafici qualitativi;
  • I numeri complessi - Una grande immaginazione.

Tratto da "Matematica Controluce 1 e 2" di Andreini, Manara e Prestipino.

 


 

  • Un ponte fra algebra e geometria - Nel piano cartesiano:
    • Il primo passo per costruire la geometrica analitica è il passaggio dalla misura assoluta alla misura relativa - esempio sono gli angoli orientati - e la definizione dei sistemi di coordinate sulla retta o nel piano (grazie all'uso del riferimento cartesiano ortogonale oppure quello polare e alle traslazioni per passare da uno all'altro);
    • I personaggi dunque saranno ascisse e ordinate e la ricerca del luogo geometrico il principale obiettivo;
    • Parliamo di particolari simmetrie (rispetto all'asse x, all'asse y o all'origine), della distanza tra due punti, delle coordinate del punto medio e del baricentro di un triangolo omogeneo;
    • Si passa dunque al concetto centrale di relazione e funzione (e le sue parti quali dominio, insieme delle immagini, variabile indipendente x e dipendente y), studiandone le caratteristiche di iniettività, suriettività, biiettività, parità (o simmetria rispetto all'asse y), disparità (rispetto all'origine), funzione inversa per giungere poi all'algebra delle funzioni e all'operazione di composizione;
    • Come opera una funzione? Classifichiamo le funzioni elementari in razionali intere e fratte, irrazionali, trascendenti quali l'esponenziale e il logaritmo e poniamo la questione dell'intersezione tra curve e confronto grafico;
  • La funzione di primo grado: la retta - Lavorando con le rette - I problemi nella geometria analitica:
    • Si inizia con la funzione costante, poi la retta passante per l'origine, poi la retta generica come funzione razionale intera di primo grado;
    • Il coefficiente angolare risulta essere collegato all'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse x, si tratteggiano anche i concetti di semiretta, segmento, spezzate e la funzione valore assoluto;
    • Si esprimono varie formule per trovare il coefficiente angolare, la retta per due punti, la condizione di parallelismo e di perpendicolarità, il punto di intersezione tra due rette (con i sistemi), i semipiani, l'asse di un segmento, la distanza punto-retta, le bisettrici, fino al concetto fondamentale di fascio proprio o improprio di rette;
    • I luoghi in forma parametrica ci collegano anche alla fisica con la cinematica del punto in 2D e il tempo come parametro;
    • Un nuovo linguaggio ci permette di impostare i problemi in geometria analitica, risolvendoli con calcoli algebrici a partire da dati geometrici espressi in forma di varie incognite, con la potente possibilità di generalizzare il problema stesso a una famiglia di problemi, modificando puntualmente i dati e anche di impostare dimostrazioni algebriche di teoremi geometrici;
  • La circonferenza - I problemi, libertà di stile - Trasformare nel piano:
    • Costruiamo il luogo geometrico dei punti equidistanti con raggio r da un punto detto centro e troviamo l'equazione canonica della circonferenza, poi affrontiamo vari problemi tipici di calcolo quali le rette tangenti a una circonferenza, il calcolo del centro e del raggio fino a giungere ai fasci di circonferenze con i punti base e l'asse radicale e poi il legame tra circonferenza e funzione irrazionale (approfondendo sulle disequazioni irrazionali);
    • L'estrema varietà nelle possibilità di risolvere un problema permette la libertà nell'uso delle tecniche risolutive e dunque vengono confrontati i diversi approcci geometrico e analitico;
    • La simmetria centrale, la simmetria assiale, quella rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante ci portano allo studio delle isometrie, mentre poi vediamo la dilatazione di centro O e le sue leggi di trasformazione;
  • La funzione di secondo grado: la parabola - Le altre coniche (ellisse e iperbole) - Esploriamo i luoghi:
    • La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un fuoco e da una direttrice, è di secondo grado rispetto a una incognita e ci sono parabole orizzontali, verticali, passanti per l'origine, orientate verso l'alto, il basso, la destra, la sinistra; si studiano infine le formule per le intersezioni tra retta e parabola, le rette tangenti, il vertice, la parabola tangente a una retta data, le parabole passanti per due punti dati e dunque i fasci di parabole con i punti base e la retta degenere;
    • Le disequazioni di secondo grado sono lo strumento per trovare le parti del piano diviso da una parabola;
    • Si definiscono le coniche con il metodo dell'intersezione del piano con un cono, per cui si hanno condizioni diverse per diversi luoghi geometrici, anche per sistemi di riferimento con assi che nulla hanno a che vedere con gli assi di simmetria della conica;
    • Si parla di ellisse come luogo dei punti la cui somma da due fuochi è costante, delle sue proprietà (semiassi, eccentricità, equazioni, spostando anche i fuochi su rette parallele agli assi cartesiani), di dilatazione della circonferenza e di calcolo della tangente all'ellisse e altri problemi tipici;
    • Si conclude con l'iperbole come luogo dei punti la cui differenza da due fuochi è costante e con le proprietà analoghe alla conica precedente, con in aggiunta gli asintoti; nel caso particolare dell'iperbole equilatera si può riferire l'equazione rispetto agli asintoti e infine la funzione omografica;
    • Esplorando i luoghi a partire dalle coniche si trovano nuove proprietà tra cui i diametri coniugati, e possiamo perfino porci la domanda se esista una sola distanza tra due punti o sia possibile costruire geometrie non euclidee (o porci problemi quali la distanza del tassista); la distanza tra due punti diviene il fondamento della geometria analitica; 
  • Le funzioni algebriche:
    • Affrontiamo in sintesi le funzioni algebriche viste finora: costante, razionale intera di primo e secondo grado, valore assoluto, razionale fratta, irrazionale per poi estendere a tutte le funzioni razionali intere di grado n, le irrazionali di indice generico, le fratte di indice -n e generalizzare a funzione potenza con esponente razionale k;
    • Si elencano anche le leggi di trasformazione quali le traslazioni, le dilatazioni e le si compongono tra loro fino a giungere alle funzioni di polinomi, soffermandoci su alcune equazioni di terzo grado;
  • Le disequazioni - I problemi, una visione dinamica:
    • Si affrontano le disuguaglianze secondo le loro proprietà, giungendo alla definizione di disequazioni equivalenti e poi calcolando soluzioni per disequazioni intere di grado superiore al secondo, per disequazioni frazionarie, con il modulo, irrazionali con una radice, irrazionali con due radici e con due valori assoluti, con attenzione al significato grafico;
    • In una visione dinamica si possono risolvere problemi geometrici grazie a quanto detto finora, stando attenti ai limiti nel dominio delle soluzioni delle equazioni che si intendono usare;
  • I problemi si inseguono - Uno sguardo sui numeri reali - Approssimazioni nella storia:
    • Si pone il problema degli incommensurabili, quali la diagonale e il lato di un quadrato, e delle costruzioni geometriche elementari (usando righello e circonferenza) per tentare di provare l'equivalenza dei poligoni e cercare di duplicare il cubo, trisezionare un angolo, quadrare il cerchio; poi viene fatto un rapido excursus del ragionamento deduttivo dai Greci a noi;
    • Definiamo i numeri irrazionali trascendenti a partire dalla potenza con esponente irrazionale, poi passiamo a una visione sintetica dell'insieme R dei numeri reali con le sue proprietà algebriche, di ordinamento e di completezza e inoltre parliamo di approssimazione ed errore;
    • Viene espresso un metodo ricorsivo per calcolo di radici quadrate di numeri interi e infine si tratta della costante pi greco π e del suo calcolo;
  • Dalla potenza all'esponenziale - Un grande numero:
    • Si parte dall'esempio della crescita di un capitale, richiamando poi le proprietà dell'elevamento a potenza e definendo con precizione la funzione potenza, la funzione esponenziale (per base minore o maggiore di 1), la monotonia e l'invertibilità di tali funzioni, la funzione logaritmo con il suo grafico e le sue proprietà (in particolare in base naturale "e" - numero di Nepero - che in base 10);
    • Risolviamo equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche, da quelle elementari a quelle riconducibili;
  • Le funzioni goniometriche - Relazioni fondamentali - La trigonometria e le figure:
    • Ripartendo dalla geometria e dai triangoli, definiamo la funzione seno (teorema della corda e dei seni), l'orientazione di un angolo, la funzione coseno e tangente, con le due relazioni fondamentali che le legano;
    • Valori notevoli delle funzioni per angoli particolari vengono trovati grazie all'uso della circonferenza goniometrica, mentre la nuova proprietà è la periodicità; infine studiamo il grafico delle funzioni e introduciamo anche le funzioni inverse per certi intervalli;
    • Vengono formulate le relazioni trigonometriche e si parla di angoli associati e operazioni goniometriche quali il seno/coseno/tangente della somma, della differenza, del doppio (duplicazione), della metà (bisezione) e infine si analizza la parametrizzazione della circonferenza e le traslazioni e dilatazioni di funzioni goniometriche;
    • Si parla ora del teorema di Carnot, del calcolo di aree e si pongono le basi per risolvere problemi trigonometrici con i limiti geometrici e la scelta dell'incognita;
  • Equazioni e disequazioni goniometriche - Altre trasformazioni - Metodi a confronto:
    • Metodi di risoluzione di equazioni elementari, di secondo grado, lineari in seno e coseno, omogenee di secondo grado, altre e poi disequazioni elementari e di vario tipo;
    • Altre trasformazioni possono venire definite quali le rotazioni e le affinità (come le roto-dilatazioni) con opportune proprietà e osservazioni sulla trasformazione di aree;
    • Tra le affinità (che si scoprono essere funzioni lineari tra punti nel piano) ci sono le similitudini, e dopo averle definite passiamo alle isometrie che sono similitudini che lasciano inalterate le distanze;
    • Nuove equazioni e nuove curve vengono alla luce: studiamo le coordinate polari, il passaggio da un sistema cartesiano a uno polare, le curve meccaniche quali la spirale di Archimede, la quadratrice di Ippia, la cicloide;
  • Grafici qualitativi:
    • Introduciamo elementi di studio qualitativo di una funzione elementare: dominio, codominio, monotonia, punto di massimo assoluto, relativo, invertibilità, periodicità; ci sono informazioni intuitive non formalizzate e altre ancora da sviluppare quali il limite e la concavità della funzione;
    • Dalle funzioni elementari grazie alle trasformazioni e alle operazioni tra funzioni otteniamo nuove funzioni riconducibili ad esse;
  • I numeri complessi - Una grande immaginazione:
    • Dalla formula di Cardano per risolvere un'equazione di terzo grado otteniamo la possibilità di avere la radice di -1 e decidiamo di definire questo nuovo oggetto come unità immaginaria "i" e dunque raggiungiamo il territorio del campo dei numeri complessi;
    • Si introducono le regole del calcolo di operazioni tra numeri complessi, con eventuali proprietà e stando attenti a mantenere inalterate le regole per i numeri reali, considerati come numeri complessi senza parte immaginaria;
    • Il piano di Gauss ci permette una rappresentazione grafica di un numero complesso come un punto di tale piano, che si può scrivere anche in forma trigonometrica, e possiamo inoltre introdurre la formula di De Moivre per l'elevamento a potenza;
    • Equazioni in campo complesso si risolvono con il teorema fondamentale dell'algebra e si hanno sempre coppie di soluzioni complesse e coiugate;
    • Si analizza il metodo di Viète per risolvere equazioni di terzo grado in condizioni di irrealtà di Cardano e si riesce anche a trovare la trisezione di un angolo.