INDICE DI MATEMATICA PRIMO BIENNIO LICEO SCIENTIFICO

  • Insiemi e operazioni fra essi - L'insieme dei numeri naturali;
  • Gli insiemi dei numeri razionali e interi - L'insieme dei numeri reali;
  • Logica delle proposizioni - Logica dei predicati - Relazioni e funzioni;
  • Il calcolo letterale: le funzioni monomie - Il calcolo letterale: le funzioni polinomiali - Le scomposizioni e le frazioni algebriche;
  • Equazioni lineari con un'incognita - Sistemi di equazioni lineari con due o più incognite;
  • Disequazioni lineari con una incognita - Il metodo delle coordinate;
  • Statistica;
  • Il computer: elaboratore di informazioni - Problemi e algoritmi risolutivi - La programmazione;
  • I radicali - I numeri complessi;
  • Equazioni di secondo grado a un'incognita;
  • Sistemi di equazioni si grado superiore al primo;
  • Disequazioni di grado superiore al primo, equazioni irrazionali;
  • Il concetto di trasformazione del piano - La retta nel piano cartesiano - Curve di secondo grado nel piano cartesiano;
  • Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche - Progressioni aritmetiche e geometriche;
  • La struttura di dati - Procedure, funzioni e moduli in un linguaggio di programmazione;
  • Il calcolo combinatorio - Il calcolo delle probabilità - Le strutture astratte - Aspetti dell'evoluzione del pensiero matematico.

Tratto da "Algebra e informatica 1 e 2" di Paola e Romeni.

 


 

  • Insiemi e operazioni fra essi - L'insieme dei numeri naturali:
    • Si definiscono i concetti di insieme, elemento, appartenenza, rappresentazioni per elencazione, per caratteristica o con i diagrammi di Eulero-Venn, insiemie uguali, insieme vuoto, sottoinsieme, proprio e improprio, insieme delle parti, unione e intersezione tra insiemi (e loro proprietà), differenza, complementare, leggi di De Morgan, insieme di verità di un proposizione aperta;
    • Per introdurci ai numeri naturali si definisce quando sono uguali e le loro operazioni fondamentali e inverse con rispettive proprietà, poi c'è l'elevamento a potenza e il problema della fattorizzazione di un numero e dei numeri primi, il M.C.D. e il m.c.m., i sistemi di numerazione e le operazioni in base non decimale.
  • Gli insiemi dei numeri razionali e interi - L'insieme dei numeri reali:
    • Dopo aver definito numeratore e denominatore di una frazione si passa in rassegna l'aritmetica con frazioni equivalenti, riduzione ai minimi termini, confronto e operazioni;
    • I numeri razionali assoluti vengono presentati e si passa ai numeri decimali limitati, periodici e periodici misti e anche alla percentuale;
    • Dotando di segno i numeri naturali abbiamo i numeri interi relativi, dei quali si studia l'aritmetica, ampliando il quadro ai numeri razionali relativi e tratteggiando la densità dei numeri razionali;
    • Per giungere ai numeri reali si definiscono i numeri irrazionali e le prime nozioni di calcolo approssimato (con operazioni con errori e notazione scientifica).
  • Logica delle proposizioni - Logica dei predicati - Relazioni e funzioni:
    • Si introducono gli elementi del linguaggio, l'alfabeto, la sintassi e la semantica per giungere ai principi (verità e falsità) di una proposizione, ai connettivi logici, alle tautologie e contraddizioni, alle condizioni necessarie e sufficienti, al modus ponens e modus tollens;
    • Nella logica dei predicati i concetti chiave sono relazioni, proprietà, predicati, costanti, variabili, insiemi, quantificatori (tra cui quelli universali);
    • Con il prodotto cartesiano tra due insiemi, le coppie ordinate e le sue rappresentazioni grafiche, le relazioni binarie, dominio e codominio, grafo orientato, classi di equivalenza e relazioni d'ordine ci incamminiamo verso la definizione di funzione (a ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio) e delle sue classificazioni in suriettiva, iniettiva e biiettiva, invertibile, composta.
  • Il calcolo letterale: le funzioni monomie - Il calcolo letterale: le funzioni polinomiali - Le scomposizioni e le frazioni algebriche:
    • Generalizzando il calcolo numerico si giunge all'algebra, con la definizione di identità, espressioni intere, fratte, monomio (sua forma normale e sui gradi) e tutte le 5 usuali operazioni tra monomi;
    • Definiamo il polinomio e le operazioni tra essi, soffermandoci sui prodotti notevoli (quadrato di un binomio, differenza di quadrati, somma o differenza di cubi, cubo di un binomio) e sulla divisione tra polinomi, enunciando anche il teorema del resto e la regola di Ruffini;
    • Scomporre in fattori è utile, grazie ai raccoglimenti e mediante la regola di Ruffini, per poi ridurre frazioni algebriche nelle operazioni tra di esse.
  • Equazioni lineari con un'incognita - Sistemi di equazioni lineari con due o più incognite:
    • Le equazioni sono proposizioni aperte in cui compare il predicato "=" e espressioni letterali, per cui molti problemi si possono esprimere come equazioni;
    • Con i principi di equivalenza si passa dunque al calcolo della soluzione (determinata, impossibile o indeterminata) di un'equazione di un certo grado, iniziando con le equazioni lineari intere e frazionarie;
    • In presenza di equazioni a più incognite si pone il problema di trovare la soluzione del sistema di n equazioni a n incognite, grazie al metodo di sostituzione, alla regola di Cramer, al metodo del confronto e di riduzione (se vi sono molte incognite si usa il metodo di Gauss, traducibile anche in linguaggio di programmazione).
  • Disequazioni lineari con una incognita - Il metodo delle coordinate:
    • Le disequazioni hanno predicati ">" o "<" e le soluzioni sono intervalli di valori;
    • Per risolvere disequazioni intere si usano i principi di equivalenza, per sistemi alla fine si fa il grafico delle intersezioni, per prodotti di disequazioni e per le fratte si fa lo studio del segno e poi il grafico ad esso collegato; si tocca anche lo studio del modulo;
    • I punti nel piano cartesiano vengono intesi come coppie di coordinate e si introducono le formule di calcolo della distanza tra due punti (lunghezza di un segmento), delle coordinate del punto medio e le formule di rappresentazione algebrica di semipiani, striscie, rettangoli fino a introdurre il concetto di grafico di una curva;
    • Equazioni lineari a due variabili e disequazioni vengono interpretate come rette incidenti e parallele e come parti del piano.
  • Statistica:
    • Data una popolazione statistica per rappresentarne i dati si utilizza la statistica descrittiva (diversa da quella induttiva), a partire dalle frequenze di realizzazione di un fenomeno, dalle classi e intervalli e dalla loro rappresentazione con aerogrammi e istogrammi;
    • I primi valori medi statistici sono la media aritmetica, la moda e la mediana, lo scarto medio e lo scarto quadratico medio, i numeri indici a base fissa.
  • Il computer: elaboratore di informazioni - Problemi e algoritmi risolutivi - La programmazione:
    • Come introduzione all'informatica si parla di stringa di bit, codifica binaria (con alfabeto interno 0 e 1), byte, rappresentazioni con codice ASCII dell'alfabeto esterno, rappresentazione dei numeri interi e razionali in virgola mobile;
    • L'elaboratore automatico di informazioni ha un suo processo di elaborazione, una struttura logico-funzionale, si possono memorizzare, introdurre e estrarre dati e se si distingue tra macchina reale e virtuale scopriamo l'enorme utilità del sistema operativo;
    • I linguaggi di programmazione presentano un programma oggetto e un programma sorgente (da compilare), il procedimento risolutivo di un problema è definito in questo ambito algoritmo (con caratteristiche quali la finitezza, non ambiguità, generalità, eseguibilità); tra i linguaggi troviamo FORTRAN, PHP, C++, PASCAL;
    • Per descrivere un algoritmo si usa il linguaggio di progetto (con i diagrammi a blocchi o i diagrammi GNS) e le sue strutture fondamentali sono la sequenza, la selezione e l'iterazione mentre le strutture di controllo derivate sono la selezione multipla e l'iterazione enumerativa (si può fare anche una verifica dell'algoritmo con la tavola di traccia); algoritmi fondamentali sono scambio, conteggio, sommatoria, fattoriale e potenza, mentre esistono numerosi classici algoritmi numerici;
  • I radicali - I numeri complessi:
    • Si definisce la funzione inversa dell'elevamento a potenza come funzione radice n-esima, poi si espongono la proprietà invariantiva e le operazioni, nonché la somma algebrica di radicali e le tecniche di razionalizzazione del denominatore di una frazione;
    • L'unità immaginaria è tale che il suo quadrato è uguale a -1 e ciò permette di definire i numeri immaginari e poi quelli complessi con le loro relative operazioni, infine il teorema fondamentale dell'algebra afferma l'esistenza delle soluzioni di un'equazione intera a coefficienti complessi;
  • Equazioni di secondo grado a un'incognita:
    • Per la soluzione di un'equazione di secondo grado abbiamo la formula del delta (generale rispetto a equazioni spurie, pure), oppure la sua omonima ridotta;
    • Per coefficienti letterali detti parametri abbiamo la discussione da fare, inoltre ci sono equazioni frazionarie riconducibili e anche la regola di Cartesio che lega i segni dei coefficienti dell'equazione alle soluzioni;
    • Infine abbiamo le tecniche per scomporre un trinomio di secondo grado in fattori di primo grado e per risolvere equazioni di grado superiore al secondo che siano fattorizzabili, binomie, trinomie o biquadratiche;
  • Sistemi di equazioni si grado superiore al primo:
    • Dopo aver definito il grado di un sistema di equazioni passiamo alla risoluzione di sistemi di secondo grado con il metodo di sostituzione e con quello del confronto, poi affrontiamo sistemi di equazioni frazionarie e letterali;
    • Si introducono sistemi di secondo grado con più di due incognite, sistemi simmetrici di secondo grado e particolari sistemi di grado superiore al secondo, per poi giungere all'impostazione dei problemi di secondo grado;
  • Disequazioni di grado superiore al primo, equazioni irrazionali:
    • Una volta definito il concetto si può determinare il segno di un trinomio di secondo grado e la risoluzione delle disequazioni di secondo grado, i sistemi di disequazioni a una incognita e disequazioni riconducibili ad essi, disequazioni fratte, equazioni irrazionali con indici pari o dispari, con il simbolo minore o con il maggiore, quelle con un solo radicale e persino con valori assoluti;
  • Il concetto di trasformazione del piano - La retta nel piano cartesiano - Curve di secondo grado nel piano cartesiano:
    • Vengono proposte diverse trasformazioni geometriche, cioè funzioni biunivoche definite da tra due insiemi di punti geometrici, tra cui la traslazione nel piano cartesiano (dei punti o degli assi), la simmetria assiale e simmetria centrale;
    • L'equazione di una retta può essere scritta in forma implicita o esplicita, da essa si generalizza al fascio di rette, si scoprono le condizioni di parallelismo o di perpendicolarità tra due rette, si può calcolare la distanza tra due punti, le coordinate del punto di incidenza tra due rette, le coordinate del punto medio, la distanza di un punto da una retta, l'asse di un segmento, le bisettrici, nonché compiere verifiche o dimostrazioni grazie al piano cartesiano; viene fornito infine un cenno alla programmazione lineare nel problema di ottimizzazione;
    • Definita la circonferenza e la sua equazione canonica, si tratteggiano problemi tipici quali trovare la circonferenza tra tre punti non allineati, le mutue posizioni tra circonferenza e retta, le tangenti a una circonferenza passanti per un punto esterno, e altri;
    • Si passa dunque alla parabola, equazione, vertice e problemi tipici, poi l'iperbole equilatera, equazione e alcuni esercizi;
  • Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche - Progressioni aritmetiche e geometriche:
    •  Dalla funzione potenza di giunge alla definizione di esponenziale e poi di logaritmo, per passare subito alle equazioni e alle disequazioni collegate ad esse;
    • Una successione associa ad ogni numero naturale un numero reale, se è costante la differenza tra due termini successivi si ha una progressione; da questo si può calcolare il termine n-esimo, la somma dei primi n termini e varie proprietà, sia per la progressione aritmetica che per la progressione geometrica, per giungere al concetto che la somma di infiniti termini può essere finita;
  • La struttura di dati - Procedure, funzioni e moduli in un linguaggio di programmazione:
    • Una certa modalità di organizzazione dei dati elementari dipende dall'algoritmo, e tale struttura di dati si avvale della definizione di vettore composto da più componenti a seconda dell'indice scelto (i primi algoritmi affrontati sono di ricerca e di ordinamento di un'informazione in un vettore), poi di matrice o array in due dimensioni;
    • A seconda del linguaggio di programmazione si hanno diversi modi di dichiarare i dati di tipo array e di generare dunque strutture di dati;
    • Nella programmazione strutturata le azioni complesse che l'algoritmo prevede vengono precisate sempre più in dettaglio fino a giungere ad azioni elementari, inoltre la successione delle azioni è regolata da strutture di controllo di sequenza, selezione e iterazione già incontrate precedentemente; nascono i sottoprogrammi (procedure e funzioni) che possono venire richiamati e usati in più parti del programma principale, il main;
  • Il calcolo combinatorio - Il calcolo delle probabilità - Le strutture astratte - Aspetti dell'evoluzione del pensiero matematico:
    • Alle basi del calcolo combinatorio di elementi distinti abbiamo la regola della moltiplicazione, poi le disposizioni semplici e le permutazioni, le combinazioni con le loro proprietà;
    • Come valutare il grado di incertezza di una situazione? Definiamo concetti quali evento, la congiunzione di due eventi, gli eventi certi o impossibili, indipendenti, incompatibili;
    • Definiamo la probabilità come rapporto tra eventi favorevoli e eventi possibili e una definizione germinale di legge dei grandi numeri che avvicina frequenza relativa a probabilità; riusciamo a collegare probabilità a calcolo combinatorio e ottenere vari valori di probabilità tra eventi di diversa natura, tra cui la probabilità totale e quella composta, quella dell'evento contrario e infine il teorema di Bayes o probabilità delle ipotesi;
    • Secondo la teoria soggettivistica in un gioco equo la probabilità è il rapporto tra la posta che il giocatore intende rischiare di pagare e il premio che intende ricevere, da cui si definisce il giocatore coerente;
    • Il concetto di struttura diviene il fondamento dell'edificio matematico, per cui si definisce una legge di composizione interna e si giunge ai monoidi, monoidi con identità, gruppi, gruppi abeliani o commutativi, anelli, corpi e campi;
    • Si conclude con una carrellata storica delle scoperte e influenze della matematica nella cultura umana.