Matematica

Inserisco qui un po' di appunti, formule, schemi sintetici della matematica per liceo scientifico che ho scritto con molta pazienza. Hai bisogno di rivedere definizioni e concetti essenziali espressi in modo chiaro e corretto? Sei nel posto giusto.

INDICE DI MATEMATICA PRIMO BIENNIO LICEO SCIENTIFICO

  • Insiemi e operazioni fra essi - L'insieme dei numeri naturali;
  • Gli insiemi dei numeri razionali e interi - L'insieme dei numeri reali;
  • Logica delle proposizioni - Logica dei predicati - Relazioni e funzioni;
  • Il calcolo letterale: le funzioni monomie - Il calcolo letterale: le funzioni polinomiali - Le scomposizioni e le frazioni algebriche;
  • Equazioni lineari con un'incognita - Sistemi di equazioni lineari con due o più incognite;
  • Disequazioni lineari con una incognita - Il metodo delle coordinate;
  • Statistica;
  • Il computer: elaboratore di informazioni - Problemi e algoritmi risolutivi - La programmazione;
  • I radicali - I numeri complessi;
  • Equazioni di secondo grado a un'incognita;
  • Sistemi di equazioni si grado superiore al primo;
  • Disequazioni di grado superiore al primo, equazioni irrazionali;
  • Il concetto di trasformazione del piano - La retta nel piano cartesiano - Curve di secondo grado nel piano cartesiano;
  • Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche - Progressioni aritmetiche e geometriche;
  • La struttura di dati - Procedure, funzioni e moduli in un linguaggio di programmazione;
  • Il calcolo combinatorio - Il calcolo delle probabilità - Le strutture astratte - Aspetti dell'evoluzione del pensiero matematico.

Tratto da "Algebra e informatica 1 e 2" di Paola e Romeni.

 


 

  • Insiemi e operazioni fra essi - L'insieme dei numeri naturali:
    • Si definiscono i concetti di insieme, elemento, appartenenza, rappresentazioni per elencazione, per caratteristica o con i diagrammi di Eulero-Venn, insiemie uguali, insieme vuoto, sottoinsieme, proprio e improprio, insieme delle parti, unione e intersezione tra insiemi (e loro proprietà), differenza, complementare, leggi di De Morgan, insieme di verità di un proposizione aperta;
    • Per introdurci ai numeri naturali si definisce quando sono uguali e le loro operazioni fondamentali e inverse con rispettive proprietà, poi c'è l'elevamento a potenza e il problema della fattorizzazione di un numero e dei numeri primi, il M.C.D. e il m.c.m., i sistemi di numerazione e le operazioni in base non decimale.
  • Gli insiemi dei numeri razionali e interi - L'insieme dei numeri reali:
    • Dopo aver definito numeratore e denominatore di una frazione si passa in rassegna l'aritmetica con frazioni equivalenti, riduzione ai minimi termini, confronto e operazioni;
    • I numeri razionali assoluti vengono presentati e si passa ai numeri decimali limitati, periodici e periodici misti e anche alla percentuale;
    • Dotando di segno i numeri naturali abbiamo i numeri interi relativi, dei quali si studia l'aritmetica, ampliando il quadro ai numeri razionali relativi e tratteggiando la densità dei numeri razionali;
    • Per giungere ai numeri reali si definiscono i numeri irrazionali e le prime nozioni di calcolo approssimato (con operazioni con errori e notazione scientifica).
  • Logica delle proposizioni - Logica dei predicati - Relazioni e funzioni:
    • Si introducono gli elementi del linguaggio, l'alfabeto, la sintassi e la semantica per giungere ai principi (verità e falsità) di una proposizione, ai connettivi logici, alle tautologie e contraddizioni, alle condizioni necessarie e sufficienti, al modus ponens e modus tollens;
    • Nella logica dei predicati i concetti chiave sono relazioni, proprietà, predicati, costanti, variabili, insiemi, quantificatori (tra cui quelli universali);
    • Con il prodotto cartesiano tra due insiemi, le coppie ordinate e le sue rappresentazioni grafiche, le relazioni binarie, dominio e codominio, grafo orientato, classi di equivalenza e relazioni d'ordine ci incamminiamo verso la definizione di funzione (a ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio) e delle sue classificazioni in suriettiva, iniettiva e biiettiva, invertibile, composta.
  • Il calcolo letterale: le funzioni monomie - Il calcolo letterale: le funzioni polinomiali - Le scomposizioni e le frazioni algebriche:
    • Generalizzando il calcolo numerico si giunge all'algebra, con la definizione di identità, espressioni intere, fratte, monomio (sua forma normale e sui gradi) e tutte le 5 usuali operazioni tra monomi;
    • Definiamo il polinomio e le operazioni tra essi, soffermandoci sui prodotti notevoli (quadrato di un binomio, differenza di quadrati, somma o differenza di cubi, cubo di un binomio) e sulla divisione tra polinomi, enunciando anche il teorema del resto e la regola di Ruffini;
    • Scomporre in fattori è utile, grazie ai raccoglimenti e mediante la regola di Ruffini, per poi ridurre frazioni algebriche nelle operazioni tra di esse.
  • Equazioni lineari con un'incognita - Sistemi di equazioni lineari con due o più incognite:
    • Le equazioni sono proposizioni aperte in cui compare il predicato "=" e espressioni letterali, per cui molti problemi si possono esprimere come equazioni;
    • Con i principi di equivalenza si passa dunque al calcolo della soluzione (determinata, impossibile o indeterminata) di un'equazione di un certo grado, iniziando con le equazioni lineari intere e frazionarie;
    • In presenza di equazioni a più incognite si pone il problema di trovare la soluzione del sistema di n equazioni a n incognite, grazie al metodo di sostituzione, alla regola di Cramer, al metodo del confronto e di riduzione (se vi sono molte incognite si usa il metodo di Gauss, traducibile anche in linguaggio di programmazione).
  • Disequazioni lineari con una incognita - Il metodo delle coordinate:
    • Le disequazioni hanno predicati ">" o "<" e le soluzioni sono intervalli di valori;
    • Per risolvere disequazioni intere si usano i principi di equivalenza, per sistemi alla fine si fa il grafico delle intersezioni, per prodotti di disequazioni e per le fratte si fa lo studio del segno e poi il grafico ad esso collegato; si tocca anche lo studio del modulo;
    • I punti nel piano cartesiano vengono intesi come coppie di coordinate e si introducono le formule di calcolo della distanza tra due punti (lunghezza di un segmento), delle coordinate del punto medio e le formule di rappresentazione algebrica di semipiani, striscie, rettangoli fino a introdurre il concetto di grafico di una curva;
    • Equazioni lineari a due variabili e disequazioni vengono interpretate come rette incidenti e parallele e come parti del piano.
  • Statistica:
    • Data una popolazione statistica per rappresentarne i dati si utilizza la statistica descrittiva (diversa da quella induttiva), a partire dalle frequenze di realizzazione di un fenomeno, dalle classi e intervalli e dalla loro rappresentazione con aerogrammi e istogrammi;
    • I primi valori medi statistici sono la media aritmetica, la moda e la mediana, lo scarto medio e lo scarto quadratico medio, i numeri indici a base fissa.
  • Il computer: elaboratore di informazioni - Problemi e algoritmi risolutivi - La programmazione:
    • Come introduzione all'informatica si parla di stringa di bit, codifica binaria (con alfabeto interno 0 e 1), byte, rappresentazioni con codice ASCII dell'alfabeto esterno, rappresentazione dei numeri interi e razionali in virgola mobile;
    • L'elaboratore automatico di informazioni ha un suo processo di elaborazione, una struttura logico-funzionale, si possono memorizzare, introdurre e estrarre dati e se si distingue tra macchina reale e virtuale scopriamo l'enorme utilità del sistema operativo;
    • I linguaggi di programmazione presentano un programma oggetto e un programma sorgente (da compilare), il procedimento risolutivo di un problema è definito in questo ambito algoritmo (con caratteristiche quali la finitezza, non ambiguità, generalità, eseguibilità); tra i linguaggi troviamo FORTRAN, PHP, C++, PASCAL;
    • Per descrivere un algoritmo si usa il linguaggio di progetto (con i diagrammi a blocchi o i diagrammi GNS) e le sue strutture fondamentali sono la sequenza, la selezione e l'iterazione mentre le strutture di controllo derivate sono la selezione multipla e l'iterazione enumerativa (si può fare anche una verifica dell'algoritmo con la tavola di traccia); algoritmi fondamentali sono scambio, conteggio, sommatoria, fattoriale e potenza, mentre esistono numerosi classici algoritmi numerici;
  • I radicali - I numeri complessi:
    • Si definisce la funzione inversa dell'elevamento a potenza come funzione radice n-esima, poi si espongono la proprietà invariantiva e le operazioni, nonché la somma algebrica di radicali e le tecniche di razionalizzazione del denominatore di una frazione;
    • L'unità immaginaria è tale che il suo quadrato è uguale a -1 e ciò permette di definire i numeri immaginari e poi quelli complessi con le loro relative operazioni, infine il teorema fondamentale dell'algebra afferma l'esistenza delle soluzioni di un'equazione intera a coefficienti complessi;
  • Equazioni di secondo grado a un'incognita:
    • Per la soluzione di un'equazione di secondo grado abbiamo la formula del delta (generale rispetto a equazioni spurie, pure), oppure la sua omonima ridotta;
    • Per coefficienti letterali detti parametri abbiamo la discussione da fare, inoltre ci sono equazioni frazionarie riconducibili e anche la regola di Cartesio che lega i segni dei coefficienti dell'equazione alle soluzioni;
    • Infine abbiamo le tecniche per scomporre un trinomio di secondo grado in fattori di primo grado e per risolvere equazioni di grado superiore al secondo che siano fattorizzabili, binomie, trinomie o biquadratiche;
  • Sistemi di equazioni si grado superiore al primo:
    • Dopo aver definito il grado di un sistema di equazioni passiamo alla risoluzione di sistemi di secondo grado con il metodo di sostituzione e con quello del confronto, poi affrontiamo sistemi di equazioni frazionarie e letterali;
    • Si introducono sistemi di secondo grado con più di due incognite, sistemi simmetrici di secondo grado e particolari sistemi di grado superiore al secondo, per poi giungere all'impostazione dei problemi di secondo grado;
  • Disequazioni di grado superiore al primo, equazioni irrazionali:
    • Una volta definito il concetto si può determinare il segno di un trinomio di secondo grado e la risoluzione delle disequazioni di secondo grado, i sistemi di disequazioni a una incognita e disequazioni riconducibili ad essi, disequazioni fratte, equazioni irrazionali con indici pari o dispari, con il simbolo minore o con il maggiore, quelle con un solo radicale e persino con valori assoluti;
  • Il concetto di trasformazione del piano - La retta nel piano cartesiano - Curve di secondo grado nel piano cartesiano:
    • Vengono proposte diverse trasformazioni geometriche, cioè funzioni biunivoche definite da tra due insiemi di punti geometrici, tra cui la traslazione nel piano cartesiano (dei punti o degli assi), la simmetria assiale e simmetria centrale;
    • L'equazione di una retta può essere scritta in forma implicita o esplicita, da essa si generalizza al fascio di rette, si scoprono le condizioni di parallelismo o di perpendicolarità tra due rette, si può calcolare la distanza tra due punti, le coordinate del punto di incidenza tra due rette, le coordinate del punto medio, la distanza di un punto da una retta, l'asse di un segmento, le bisettrici, nonché compiere verifiche o dimostrazioni grazie al piano cartesiano; viene fornito infine un cenno alla programmazione lineare nel problema di ottimizzazione;
    • Definita la circonferenza e la sua equazione canonica, si tratteggiano problemi tipici quali trovare la circonferenza tra tre punti non allineati, le mutue posizioni tra circonferenza e retta, le tangenti a una circonferenza passanti per un punto esterno, e altri;
    • Si passa dunque alla parabola, equazione, vertice e problemi tipici, poi l'iperbole equilatera, equazione e alcuni esercizi;
  • Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche - Progressioni aritmetiche e geometriche:
    •  Dalla funzione potenza di giunge alla definizione di esponenziale e poi di logaritmo, per passare subito alle equazioni e alle disequazioni collegate ad esse;
    • Una successione associa ad ogni numero naturale un numero reale, se è costante la differenza tra due termini successivi si ha una progressione; da questo si può calcolare il termine n-esimo, la somma dei primi n termini e varie proprietà, sia per la progressione aritmetica che per la progressione geometrica, per giungere al concetto che la somma di infiniti termini può essere finita;
  • La struttura di dati - Procedure, funzioni e moduli in un linguaggio di programmazione:
    • Una certa modalità di organizzazione dei dati elementari dipende dall'algoritmo, e tale struttura di dati si avvale della definizione di vettore composto da più componenti a seconda dell'indice scelto (i primi algoritmi affrontati sono di ricerca e di ordinamento di un'informazione in un vettore), poi di matrice o array in due dimensioni;
    • A seconda del linguaggio di programmazione si hanno diversi modi di dichiarare i dati di tipo array e di generare dunque strutture di dati;
    • Nella programmazione strutturata le azioni complesse che l'algoritmo prevede vengono precisate sempre più in dettaglio fino a giungere ad azioni elementari, inoltre la successione delle azioni è regolata da strutture di controllo di sequenza, selezione e iterazione già incontrate precedentemente; nascono i sottoprogrammi (procedure e funzioni) che possono venire richiamati e usati in più parti del programma principale, il main;
  • Il calcolo combinatorio - Il calcolo delle probabilità - Le strutture astratte - Aspetti dell'evoluzione del pensiero matematico:
    • Alle basi del calcolo combinatorio di elementi distinti abbiamo la regola della moltiplicazione, poi le disposizioni semplici e le permutazioni, le combinazioni con le loro proprietà;
    • Come valutare il grado di incertezza di una situazione? Definiamo concetti quali evento, la congiunzione di due eventi, gli eventi certi o impossibili, indipendenti, incompatibili;
    • Definiamo la probabilità come rapporto tra eventi favorevoli e eventi possibili e una definizione germinale di legge dei grandi numeri che avvicina frequenza relativa a probabilità; riusciamo a collegare probabilità a calcolo combinatorio e ottenere vari valori di probabilità tra eventi di diversa natura, tra cui la probabilità totale e quella composta, quella dell'evento contrario e infine il teorema di Bayes o probabilità delle ipotesi;
    • Secondo la teoria soggettivistica in un gioco equo la probabilità è il rapporto tra la posta che il giocatore intende rischiare di pagare e il premio che intende ricevere, da cui si definisce il giocatore coerente;
    • Il concetto di struttura diviene il fondamento dell'edificio matematico, per cui si definisce una legge di composizione interna e si giunge ai monoidi, monoidi con identità, gruppi, gruppi abeliani o commutativi, anelli, corpi e campi;
    • Si conclude con una carrellata storica delle scoperte e influenze della matematica nella cultura umana.

 

INDICE DI MATEMATICA SECONDO BIENNIO LICEO SCIENTIFICO

  • Un ponte fra algebra e geometria - Nel piano cartesiano;
  • La funzione di primo grado: la retta - Lavorando con le rette - I problemi nella geometria analitica;
  • La circonferenza - I problemi: libertà di stile - Trasformare nel piano;
  • La funzione di secondo grado: la parabola - Le altre coniche (ellisse e iperbole) - Esploriamo i luoghi;
  • Le funzioni algebriche;
  • Le disequazioni - I problemi: una visione dinamica;
  • I problemi si inseguono - Uno sguardo sui numeri reali - Approssimazioni nella storia;
  • Dalla potenza all'esponenziale - Un grande numero;
  • Le funzioni goniometriche;
  • Relazioni fondamentali;
  • La trigonometria e le figure;
  • Equazioni e disequazioni goniometriche - Altre trasformazioni - Metodi a confronto;
  • Grafici qualitativi;
  • I numeri complessi - Una grande immaginazione.

Tratto da "Matematica Controluce 1 e 2" di Andreini, Manara e Prestipino.

 


 

  • Un ponte fra algebra e geometria - Nel piano cartesiano:
    • Il primo passo per costruire la geometrica analitica è il passaggio dalla misura assoluta alla misura relativa - esempio sono gli angoli orientati - e la definizione dei sistemi di coordinate sulla retta o nel piano (grazie all'uso del riferimento cartesiano ortogonale oppure quello polare e alle traslazioni per passare da uno all'altro);
    • I personaggi dunque saranno ascisse e ordinate e la ricerca del luogo geometrico il principale obiettivo;
    • Parliamo di particolari simmetrie (rispetto all'asse x, all'asse y o all'origine), della distanza tra due punti, delle coordinate del punto medio e del baricentro di un triangolo omogeneo;
    • Si passa dunque al concetto centrale di relazione e funzione (e le sue parti quali dominio, insieme delle immagini, variabile indipendente x e dipendente y), studiandone le caratteristiche di iniettività, suriettività, biiettività, parità (o simmetria rispetto all'asse y), disparità (rispetto all'origine), funzione inversa per giungere poi all'algebra delle funzioni e all'operazione di composizione;
    • Come opera una funzione? Classifichiamo le funzioni elementari in razionali intere e fratte, irrazionali, trascendenti quali l'esponenziale e il logaritmo e poniamo la questione dell'intersezione tra curve e confronto grafico;
  • La funzione di primo grado: la retta - Lavorando con le rette - I problemi nella geometria analitica:
    • Si inizia con la funzione costante, poi la retta passante per l'origine, poi la retta generica come funzione razionale intera di primo grado;
    • Il coefficiente angolare risulta essere collegato all'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse x, si tratteggiano anche i concetti di semiretta, segmento, spezzate e la funzione valore assoluto;
    • Si esprimono varie formule per trovare il coefficiente angolare, la retta per due punti, la condizione di parallelismo e di perpendicolarità, il punto di intersezione tra due rette (con i sistemi), i semipiani, l'asse di un segmento, la distanza punto-retta, le bisettrici, fino al concetto fondamentale di fascio proprio o improprio di rette;
    • I luoghi in forma parametrica ci collegano anche alla fisica con la cinematica del punto in 2D e il tempo come parametro;
    • Un nuovo linguaggio ci permette di impostare i problemi in geometria analitica, risolvendoli con calcoli algebrici a partire da dati geometrici espressi in forma di varie incognite, con la potente possibilità di generalizzare il problema stesso a una famiglia di problemi, modificando puntualmente i dati e anche di impostare dimostrazioni algebriche di teoremi geometrici;
  • La circonferenza - I problemi, libertà di stile - Trasformare nel piano:
    • Costruiamo il luogo geometrico dei punti equidistanti con raggio r da un punto detto centro e troviamo l'equazione canonica della circonferenza, poi affrontiamo vari problemi tipici di calcolo quali le rette tangenti a una circonferenza, il calcolo del centro e del raggio fino a giungere ai fasci di circonferenze con i punti base e l'asse radicale e poi il legame tra circonferenza e funzione irrazionale (approfondendo sulle disequazioni irrazionali);
    • L'estrema varietà nelle possibilità di risolvere un problema permette la libertà nell'uso delle tecniche risolutive e dunque vengono confrontati i diversi approcci geometrico e analitico;
    • La simmetria centrale, la simmetria assiale, quella rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante ci portano allo studio delle isometrie, mentre poi vediamo la dilatazione di centro O e le sue leggi di trasformazione;
  • La funzione di secondo grado: la parabola - Le altre coniche (ellisse e iperbole) - Esploriamo i luoghi:
    • La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un fuoco e da una direttrice, è di secondo grado rispetto a una incognita e ci sono parabole orizzontali, verticali, passanti per l'origine, orientate verso l'alto, il basso, la destra, la sinistra; si studiano infine le formule per le intersezioni tra retta e parabola, le rette tangenti, il vertice, la parabola tangente a una retta data, le parabole passanti per due punti dati e dunque i fasci di parabole con i punti base e la retta degenere;
    • Le disequazioni di secondo grado sono lo strumento per trovare le parti del piano diviso da una parabola;
    • Si definiscono le coniche con il metodo dell'intersezione del piano con un cono, per cui si hanno condizioni diverse per diversi luoghi geometrici, anche per sistemi di riferimento con assi che nulla hanno a che vedere con gli assi di simmetria della conica;
    • Si parla di ellisse come luogo dei punti la cui somma da due fuochi è costante, delle sue proprietà (semiassi, eccentricità, equazioni, spostando anche i fuochi su rette parallele agli assi cartesiani), di dilatazione della circonferenza e di calcolo della tangente all'ellisse e altri problemi tipici;
    • Si conclude con l'iperbole come luogo dei punti la cui differenza da due fuochi è costante e con le proprietà analoghe alla conica precedente, con in aggiunta gli asintoti; nel caso particolare dell'iperbole equilatera si può riferire l'equazione rispetto agli asintoti e infine la funzione omografica;
    • Esplorando i luoghi a partire dalle coniche si trovano nuove proprietà tra cui i diametri coniugati, e possiamo perfino porci la domanda se esista una sola distanza tra due punti o sia possibile costruire geometrie non euclidee (o porci problemi quali la distanza del tassista); la distanza tra due punti diviene il fondamento della geometria analitica; 
  • Le funzioni algebriche:
    • Affrontiamo in sintesi le funzioni algebriche viste finora: costante, razionale intera di primo e secondo grado, valore assoluto, razionale fratta, irrazionale per poi estendere a tutte le funzioni razionali intere di grado n, le irrazionali di indice generico, le fratte di indice -n e generalizzare a funzione potenza con esponente razionale k;
    • Si elencano anche le leggi di trasformazione quali le traslazioni, le dilatazioni e le si compongono tra loro fino a giungere alle funzioni di polinomi, soffermandoci su alcune equazioni di terzo grado;
  • Le disequazioni - I problemi, una visione dinamica:
    • Si affrontano le disuguaglianze secondo le loro proprietà, giungendo alla definizione di disequazioni equivalenti e poi calcolando soluzioni per disequazioni intere di grado superiore al secondo, per disequazioni frazionarie, con il modulo, irrazionali con una radice, irrazionali con due radici e con due valori assoluti, con attenzione al significato grafico;
    • In una visione dinamica si possono risolvere problemi geometrici grazie a quanto detto finora, stando attenti ai limiti nel dominio delle soluzioni delle equazioni che si intendono usare;
  • I problemi si inseguono - Uno sguardo sui numeri reali - Approssimazioni nella storia:
    • Si pone il problema degli incommensurabili, quali la diagonale e il lato di un quadrato, e delle costruzioni geometriche elementari (usando righello e circonferenza) per tentare di provare l'equivalenza dei poligoni e cercare di duplicare il cubo, trisezionare un angolo, quadrare il cerchio; poi viene fatto un rapido excursus del ragionamento deduttivo dai Greci a noi;
    • Definiamo i numeri irrazionali trascendenti a partire dalla potenza con esponente irrazionale, poi passiamo a una visione sintetica dell'insieme R dei numeri reali con le sue proprietà algebriche, di ordinamento e di completezza e inoltre parliamo di approssimazione ed errore;
    • Viene espresso un metodo ricorsivo per calcolo di radici quadrate di numeri interi e infine si tratta della costante pi greco π e del suo calcolo;
  • Dalla potenza all'esponenziale - Un grande numero:
    • Si parte dall'esempio della crescita di un capitale, richiamando poi le proprietà dell'elevamento a potenza e definendo con precizione la funzione potenza, la funzione esponenziale (per base minore o maggiore di 1), la monotonia e l'invertibilità di tali funzioni, la funzione logaritmo con il suo grafico e le sue proprietà (in particolare in base naturale "e" - numero di Nepero - che in base 10);
    • Risolviamo equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche, da quelle elementari a quelle riconducibili;
  • Le funzioni goniometriche - Relazioni fondamentali - La trigonometria e le figure:
    • Ripartendo dalla geometria e dai triangoli, definiamo la funzione seno (teorema della corda e dei seni), l'orientazione di un angolo, la funzione coseno e tangente, con le due relazioni fondamentali che le legano;
    • Valori notevoli delle funzioni per angoli particolari vengono trovati grazie all'uso della circonferenza goniometrica, mentre la nuova proprietà è la periodicità; infine studiamo il grafico delle funzioni e introduciamo anche le funzioni inverse per certi intervalli;
    • Vengono formulate le relazioni trigonometriche e si parla di angoli associati e operazioni goniometriche quali il seno/coseno/tangente della somma, della differenza, del doppio (duplicazione), della metà (bisezione) e infine si analizza la parametrizzazione della circonferenza e le traslazioni e dilatazioni di funzioni goniometriche;
    • Si parla ora del teorema di Carnot, del calcolo di aree e si pongono le basi per risolvere problemi trigonometrici con i limiti geometrici e la scelta dell'incognita;
  • Equazioni e disequazioni goniometriche - Altre trasformazioni - Metodi a confronto:
    • Metodi di risoluzione di equazioni elementari, di secondo grado, lineari in seno e coseno, omogenee di secondo grado, altre e poi disequazioni elementari e di vario tipo;
    • Altre trasformazioni possono venire definite quali le rotazioni e le affinità (come le roto-dilatazioni) con opportune proprietà e osservazioni sulla trasformazione di aree;
    • Tra le affinità (che si scoprono essere funzioni lineari tra punti nel piano) ci sono le similitudini, e dopo averle definite passiamo alle isometrie che sono similitudini che lasciano inalterate le distanze;
    • Nuove equazioni e nuove curve vengono alla luce: studiamo le coordinate polari, il passaggio da un sistema cartesiano a uno polare, le curve meccaniche quali la spirale di Archimede, la quadratrice di Ippia, la cicloide;
  • Grafici qualitativi:
    • Introduciamo elementi di studio qualitativo di una funzione elementare: dominio, codominio, monotonia, punto di massimo assoluto, relativo, invertibilità, periodicità; ci sono informazioni intuitive non formalizzate e altre ancora da sviluppare quali il limite e la concavità della funzione;
    • Dalle funzioni elementari grazie alle trasformazioni e alle operazioni tra funzioni otteniamo nuove funzioni riconducibili ad esse;
  • I numeri complessi - Una grande immaginazione:
    • Dalla formula di Cardano per risolvere un'equazione di terzo grado otteniamo la possibilità di avere la radice di -1 e decidiamo di definire questo nuovo oggetto come unità immaginaria "i" e dunque raggiungiamo il territorio del campo dei numeri complessi;
    • Si introducono le regole del calcolo di operazioni tra numeri complessi, con eventuali proprietà e stando attenti a mantenere inalterate le regole per i numeri reali, considerati come numeri complessi senza parte immaginaria;
    • Il piano di Gauss ci permette una rappresentazione grafica di un numero complesso come un punto di tale piano, che si può scrivere anche in forma trigonometrica, e possiamo inoltre introdurre la formula di De Moivre per l'elevamento a potenza;
    • Equazioni in campo complesso si risolvono con il teorema fondamentale dell'algebra e si hanno sempre coppie di soluzioni complesse e coiugate;
    • Si analizza il metodo di Viète per risolvere equazioni di terzo grado in condizioni di irrealtà di Cardano e si riesce anche a trovare la trisezione di un angolo.

INDICE DI MATEMATICA QUINTO ANNO LICEO SCIENTIFICO

  • Introduzione all'analisi matematica - I numeri naturali - All'infinito;
  • Successioni - Entriamo nel continuo;
  • La continuità;
  • Derivabilità;
  • Operatore primitiva - Differenziale;
  • Dal locale al globale;
  • Il polinomio di Taylor;
  • Area;
  • Equazioni differenziali.

Tratto da "Matematica Controluce 3" di Andreini, Manara e Prestipino e da appunti universitari (ultima parte).

 


 

  • Introduzione all'analisi matematica - I numeri naturali - All'infinito:
    • Nel secolo XVII nascono le basi del calcolo differenziale e infinitesimale (Cartesio, Cardano, Galileo, Newton, Leibniz);
    • Si cerca di risolvere problemi di ottimo, della retta tangente a una curva e della misura di oggetti curvilinei (Keplero, Snell, Fermat che generalizza Erone, Huygens, già Archimede, Cavalieri, Torricelli) e nasce il concetto di funzione (Gregory...);
    • Si sviluppa poi l'assiomatizzazione dei numeri naturali (Kronecker, Peano) e si utilizza la dimostrazione per induzione;
    • Abbiamo inoltre il calcolo combinatorio (Pascal, Fermat) con le formule per disposizioni semplici, permutazioni semplici, fattoriale, combinazioni semplici, coefficienti binomiali, binomio di Newton;
    • Infine si studia la numerabilità e la cardinalità di un insieme (Dedekind, Cantor, Frege) e l'ipotesi del continuo (citata da Hilbert, dimostrata non decidibile da Cohen).
  • Successioni - Entriamo nel continuo:
    • Si chiama successione numerica un insieme di numeri reali codominio di una funzione di una funzione  f  reale definita sull'insieme dei numeri naturali   f: N ---> R  (ci sono successioni monotone crescenti e decrescenti, limitate, convergenti, divergenti e valgono i teoremi del confronto, dell'unicità del limite, delle operazioni di calcolo dei limiti, il teorema del rapporto, le forme indeterminate);
    • Si scopre prima di tutto che i numeri reali non possono essere  messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, poi si definiscono intervalli aperti, chiusi, intorni di un numero reale, estremi superiori e inferiori di insiemi, punti di accumulazione e punti isolati;
    • Si giunge dunque a definire il limite di una funzione, si analizzano i primi grafici, gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui, limiti destri e sinistri e infine la definizione locale e globale di continuità di una funzione;
    • I teoremi sui limiti ci accompagnano: unicità del limite, permanenza del segno, teorema del confronto, operazioni coi limiti (somma, prodotto, reciproca, quoziente), forme indeterminate, le formule dei limiti notevoli e altre tecniche di soluzione di forme indeterminate;
    • Il calcolo dei limiti può venire affrontato per risolvere problemi geometrici.
  • La continuità:
    • Vengono definite le funzioni continue (e le operazioni tra funzioni) e classificati i punti di discontinuità (prima specie o salto, seconda specie, terza specie o eliminabile);
    • Valgono i teoremi di Weierstrass, di Bolzano-Darboux, il teorema degli zeri;
    • Vengono indagati i limiti notevoli per funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche e si ampliano le tecniche di soluzione di forme indeterminate.
  • Derivabilità:
    • Dal concetto di rapporto incrementale  e grazie all'idea del coefficiente angolare della retta tangente a un grafico in un punto, si definisce la derivata (in fisica la velocità è la derivata della legge oraria rispetto al tempo), i punti stazionari, i casi di non derivabilità (punti angolosi, punti di cuspide, punti a tangente verticale);
    • La funzione derivata prima viene indagata per vari tipi di funzione (razionale, esponenziale, logaritmica, trigonometrica) e l'operatore derivata poi analizzando le regole di derivazione (somma, formule del prodotto e del quoziente, di funzioni composte e funzione inversa), addentrandoci anche nelle derivate successive;
    • Si passa dunque alle relazioni tra continuità e derivabilità, alla monotonia collegata al segno della derivata prima (calcolo di estremanti, funzioni crescenti e decrescenti), alla concavità collegata al segno della derivata seconda (calcolo dei flessi);
    • Si affrontano problemi geometrici di ottimo con l'uso delle derivate (principio di Fermat, riflessione e rifrazione con il problema del bagnino), calcolando tra le varie incognite più richieste aree e volumi massimi o minimi;
  • Operatore primitiva - Differenziale:
    • L'operazione inversa della derivata viene tratteggiata, con le sue proprietà;
    • Si pone il problema dell'integrabilità di una funzione e si trovano i primi integrali immediati di funzioni note (razionali intere, logaritmiche, esponenziali, trigonometriche, razionali fratte nei tre casi di denominatore riducibile, quadrato perfetto, irriducibile);
    • Si definisce quando una funzione è integrabili e si introduce l'integrazione per parti e per sostituzione;
    • Alcuni cenni vengono fatti anche sul concetto di differenziale.
  • Dal locale al globale - sviluppo di Taylor:
    •  Il teorema di Rolle e il teorema di Lagrange dominano nella teoria relativa alle funzioni derivabili, mentre finalmente si pongono le basi per lo STUDIO globale DI UNA FUNZIONE, CON L'OBIETTIVO CENTRALE DEL DISEGNO GRAFICO DI UNA QUALSIASI FUNZIONE, calcolando il dominio, i limiti agli estremi, gli asintoti, gli zeri, i punti di massimo e di minimo e la monotonia, i punti di flesso e la concavità;
    • Si procede dunque ad analizzare la casistica dello studio di funzioni note, per aver dimestichezza e controllo sui grafici di possibili varianti di tali funzioni: le razionali intere con dominio tutto R introducono limiti ai due estremi e vari possibili massimi, minimi e flessi; le razionali fratte hanno inoltre buchi nel dominio con asintoti verticali; le irrazionali hanno dominio più limitato, le goniometriche possono presentare massimi e flessi periodici; funzioni con anche esponenziali e logaritmiche vanno trattate con cura per valutare quali casi di volta in volta si presentano;
    • Un potente strumento per il calcolo dei limiti di forme indeterminate è inoltre il teorema di De L'Hopital;
    • Infine possiamo approssimare una qualunque funzione con l'uso del suo sviluppo fino a un certo ordine, e grazie al calcolo delle derivate; abbiamo gli sviluppi di Taylor e di Mac Laurin.
  • Area:
    • Il tempo è maturo per il calcolo di misure di aree di oggetti curvilinei: dai trapezoidi e dall'area sottesa a un grafico (anche negativa), fino al metodo dei plurirettangoli per definire aree inferiori e superiori e dunque passando per il lavoro eccelso di Fermat sulle quadrature di coniche si giunge all'integrale come strumento per il calcolo di superficie curvilinee;
    • Ci diamo spazio per definire le relazioni tra integrabilità e continuità, e dunque anche parlando di funzioni non integrabili, di proprietà dell'integrale e della media integrale;
    • Il teorema fondamentale del calcolo integrale segue al teorema di Torricelli, e si definisce pure l'operatore integrale, generalizzando infine al calcolo di aree finite di figure illimitate, generalizzando l'integrale e ponendo il problema della sua convergenza;
    • L'ultima conquista risulta essere il calcolo dei volumi di solidi di rotazione e della lunghezza di curve grazie all'uso degli integrali, da cui possiamo calcolare il volume del cono, della sfera, dell'elissoide, della tromba illimitata, della scodella parabolica e la lunghezza della catenaria e di altri oggetti curvilinei.
  • Equazioni differenziali.

Statistica e probabilità

  • Medie:
    • aritmetica:  xm = Σi xi / N
    • aritmetica pesata
    • geometrica
    • armonica
    • di potenza
    • aritmetico-geometrica
    • integrale
    • temporale
  • Distribuzioni di probabilità:
    • gaussiana o normale
    • binomiale
    • poissoniana
    • ipergeometrica
  • Covarianza e correlazione lineare:
    • σxy
    • r
  • Calcolo combinatorio (insiemi finiti e proprietà dei loro elementi): come calcolare in modo efficiente il numero di elementi di un insieme finito che godono di una certa proprietà?
    • Fattoriale:  n! = n(n-1)(n-2)...1
    • Regola della moltiplicazione: se compio una scelta in  x  modi distinti e per ciascuno compio una scelta in  y  modi distinti, allora le due scelte le posso compiere in  xy  modi distinti
    • Disposizione di  n  elementi di classe  k  è un gruppo ordinato di  k  oggetti distinti che si può formare a partire da un insieme di  n  elementi:  Dn,k = n! / (n-k)!
    • Disposizione con ripetizione:  rDn,k = nk
    • Permutazione di n elementi distinti è uno dei modi in cui è possibile ordinare gli n elementi:  Pn = Dn,n = n!
    • Combinazione di  n  elementi di classe  k  è ogni sottoinsieme, di un insieme di  n  elementi, costituito da  k  elementi distinti e non ordinati:  Cn,k = Dn,k / Pk = (n su k) = n! / [k!(n-k)!]
    • Combinazione con ripetizione:  rCn,k = (n+k-1 su k) = (n+k-1)! / [k!(n-1)!]
  • Calcolo delle probabilità: come valutare un evento in condizioni di incertezza?
    • P(E) = probabilità che accada l'evento E = (casi favorevoli) / (casi possibili)
    • Legge empirica del caso: al crescere del numero di ripetizioni  n  di un evento  E  casuale la frequenza assoluta  f(E)  diviene la frequenza relativa:  frel = f(E) / n
    • Teoria soggettivista della probabilità (per gioco equo tra giocatori coerenti):  P(vincere) = (posta da pagare) / (premio in caso di vincita) = p / S
    • Probabilità totale o dell'evento disgiunzione (eventi incompatibili l'intersezione è vuota):  P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
    • Probabilità composta o dell'evento congiunzione (eventi indipendenti):  P(AB) = P(A) P(B)
    • Probabilità condizionale (eventi dipendenti):  P(A|B) = P(AB) / P(B)
    • Teorema di Bayes (probabilità delle ipotesi): se l'evento  B  può presentarsi a seguito di una qualsiasi delle cause mutuamente escludentisi  A1,...,An  allora la probabilità che, essendosi verificato  B  , ciò sia dovuto alla causa  Ak  è  P(Ak|B) = P(Ak) P(B|Ak) / Σi[P(Ai) P(B|Ai)]

Equazione del calore

Per trovare come si distribuisce nel tempo la temperatura lungo un corpo lineare dobbiamo trovare la funzione T(x,t) a due variabili spazio e tempo che sia soluzione dell'equazione differenziale alle derivate parziali

Tt - α Txx = 0

al prim'ordine in  t  e al secondo ordine in  x  e con  α  coefficiente di diffusività termica. Tale equazione deriva dal bilancio termico, con calore specifico e densità do massa costanti, e dalla legge di Fourier.

Essendo una equazione parabolica - infatti la matrice della parte principale, quella con le derivate seconde, ha denominatore nullo - è già scritta in forma canonica e possiamo porre il problema di Cauchy di esistenza e unicità della soluzione, scegliendo le seguenti condizioni iniziali:

T|γ = φ|γ         e           Tn|γ = ψ|γ

con  γ  curva regolare di normale  n  e funzioni assegnate  φ  e  ψ  . Un metodo per costruire la soluzione è calcolare tutte le derivate di T su  γ  e dimostrare che lo sviluppo di Taylor di  T  converge in un intorno della curva. Infine ricordiamoci che il problema risulta ben posto secondo Hadamard se esiste una sola soluzione ed essa dipende in modo continuo dai dati.

Saltando in blocco i principi di massimo e la formulazione del problemi di Dirichlet e di Neumann per equazioni differenziali paraboliche, esponiamo il calcolo di soluzioni particolari dell'equazione del calore secondo il metodo di Fourier. E' un ottimo esempio di risoluzione di equazione differenziale a variabili separabili. Infatti cercando soluzioni della forma (con  α=1  )

T(x,t) = τ(t) ξ(x)

otteniamo l'equazione (e dunque separando le variabili)

τ' ξ - τ ξ'' = 0          quindi        τ' / τ = ξ'' / ξ = -k2

avendo posto  τ  limitata nel futuro perché tale equazione descrive fenomeni irreversibili e il principio di entropia indica la direzione della freccia del tempo. Per risolvere queste equazioni differenziali ordinarie osserviamo che la prima integrazione è immediata, mentre la seconda del secondo ordine è omogenea con soluzioni del polinomio caratteristico complesse e coniugate, dunque abbiamo soluzioni del tipo

T(x,t) = e-k^2 t [sin(kx) + b cos(kx)]

Ipotizzando un corpo lineare di lunghezza unitaria abbiamo autofunzioni sinnx) con autovalori uguali a π, 2π, ... e soluzione formale

T(x,t) = Σi e-λn^2 t an sin(λnx)

con  an  coefficienti dello sviluppo di Fourier

T0(x) =Σi an sin(λnx)

Ebbene, si dimostra che la  T(x,t)  trovata è effettivamente la soluzione per ogni T0 continua e nulla agli estremi. Per una applicazione vedi l'esercizio 31.

 

(Bibliografia: "Equazioni differenziali della fisica matematica" di A.Fasano, unifi.it)

Equazioni differenziali

Funzioni a più variabili, limiti, derivabilità, differenziabilità, massimi e minimi

Il pendolo: analisi della dinamica

Tratto da "Introduzione alla meccanica razionale" di Mauro Fabrizio.

Sistemi dinamici e teoria delle biforcazioni

EQUAZIONI DEL MOTO DI HAMILTON

L'interesse per conoscere l'evoluzione nel tempo di un sistema dinamico mi ha portato a proporti alcuni schemi in merito alle equazioni di Hamilton

Fonte: "Introduzione alla meccanica razionale" di Mauro Fabrizio.

Altri interessanti esempi si trovano su questo ipertesto dell'università di Pisa.

 

TEORIA DELLE BIFORCAZIONI

Vogliamo studiare lo stato di un sistema a lungo termine al variare di un parametro strutturale del modello. Quando soluzioni stabili non lo sono più? Prendiamo una equazione alle differenze finite del primo ordine

xk+1 = f(mu,xk)   

con  mu  reale e  xi  vettore reale n-dimensionale al tempo i . Assumiamo il punto critico nell'origine (mu,x)=(0,0) in modo da avere  f(0,0)=0 .

Iniziamo con la componente lineare, sviluppando con Taylor abbiamo

xk+1 = f(mu,0) + Dxf(mu,0) xk + O(x2)

e linearizziamo ottenendo

xk+1 = Df(0,0) xk

ben più facile da trattare.

xxx

Fonte: "Una breve introduzione alla Teoria della Biforcazione" di Massimiliano Leoni.